平面入射 P-SV 波接收函数的计算公式
以下介绍 PyGRT 计算的平面入射 P-SV 接收函数所使用的公式。
对于已经熟悉点源计算的读者，可以把两种问题的异同概括为：
\(q/w\) 与平面波势函数
在 姚振兴和谢小碧 (2026) 中，势函数与位移垂直波函数的关系已经给出。
这里省略点源柱面谐展开的阶数下标 \(m\)，沿用同一归一化记号：
(1)\[q=k\phi+\frac{\partial\psi}{\partial z},
\qquad
w=\frac{\partial\phi}{\partial z}+k\psi.\]
其中 \(\phi\) 是 P 波势函数，\(\Psi\) 是双旋度表达式中的原始 SV 标量势。
为了与 P 波势函数采用相同的波数尺度，R/T 矩阵使用缩放后的 SV 势函数
\(\psi\)，定义为
\[\psi=k\Psi.\]
因此，\(q,w\) 就是底层 R/T 矩阵已经给出的两个响应系数。
平面波固定水平波矢为
\[\mathbf{k}_h=(k,0),
\qquad
\mathcal{E}(x,t)=\exp[\mathrm{i}(kx-\omega t)],
\qquad
p=\frac{k}{\omega}.\]
若在入射层以从竖直方向量起的入射角 \(\theta\) 指定入射波，则
\(p=\sin\theta/V_\alpha\)，其中 \(V_\alpha\) 是对应入射波的速度。
在程序使用射线参数输入时，直接由 \(k=\omega p\) 得到水平波数。
由势函数得到位移
位移仍由 P 势函数的一次梯度和 SV 势函数的双旋度组成：
(2)\[\mathbf{u}
=\nabla\phi
+\nabla\times\left[\nabla\times(\Psi\mathbf{e}_z)\right],
\qquad
\psi=k\Psi.\]
平面波没有 \(y\) 方向变化，因此
\[\nabla\times\left[\nabla\times(\Psi\mathbf{e}_z)\right]
=
\left(
\frac{\partial^2\Psi}{\partial x\partial z},
0,
-\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}
\right).\]
利用 \(\partial_x\exp(\mathrm{i}kx)=\mathrm{i}k\exp(\mathrm{i}kx)\)，
水平和垂向位移分量分别为
(3)\[\begin{split}u_R
&=\frac{\partial\phi}{\partial x}
+\frac{\partial^2\Psi}{\partial x\partial z}
=\mathrm{i}\left(k\phi+\frac{\partial\psi}{\partial z}\right)
=\mathrm{i}q,\\
u_Z
&=\frac{\partial\phi}{\partial z}
-\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}
=\frac{\partial\phi}{\partial z}+k\psi
=w.\end{split}\]
所以，平面波计算中真正的位移转换关系是
\[\boxed{u_R=\mathrm{i}q},
\qquad
\boxed{u_Z=w}.\]
自由表面响应与接收函数
完成与点源相同的 R/T 矩阵递推后，在自由表面得到 \(q,w\)。
记两种入射波对应的自由表面响应为
\((q_P,w_P)\) 和 \((q_{SV},w_{SV})\)。
直接使用 (3)，即可得到对应分量响应，
再按如下式子即可计算得到接收函数。
P 入射时使用水平分量与垂向分量之比：
(4)\[R_P(\omega)
=\frac{U_R^{(P)}}{U_Z^{(P)}}
=\frac{\mathrm{i}q_P}{w_P}.\]
SV 入射时使用垂向分量与水平分量之比：
(5)\[R_{SV}(\omega)
=\frac{U_Z^{(SV)}}{U_R^{(SV)}}
=\frac{w_{SV}}{\mathrm{i}q_{SV}}
=-\frac{\mathrm{i}w_{SV}}{q_{SV}}.\]
共同的入射振幅在比值中会自动消去，因此计算接收函数时只需使用
R/T 递推得到的 \(q,w\) 响应。
若还需要输出绝对位移分量，令 \(\widetilde V_\alpha\) 表示程序在入射层采用的速度因子，
无衰减时它就是 \(V_\alpha\)。单位物理位移对应的势函数系数为
\[\Phi_{P,\mathrm{unit}}
=\frac{\widetilde V_P}{\mathrm{i}\omega},
\qquad
\psi_{SV,\mathrm{unit}}
=\frac{\widetilde V_S}{\omega}
=\mathrm{i}\frac{\widetilde V_S}{\mathrm{i}\omega}.\]
因此绝对分量只需在 (3) 的基础上乘以相应的单位入射位移因子；
这不会改变上面的接收函数比值。