自由边界和刚性边界的反射系数
本质上与 姚振兴和谢小碧 (2026) 中推导顶层的自由界面反射系数的过程基本一致，只是替换了相应的矩阵表达式。
具体而言， 以动态 P-SV 为例，
自由边界满足过 z 平面的牵引力为 0， 即
\[\begin{split}\begin{bmatrix}
q_m \\
w_m \\
0 \\
0 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
k & b & k & -b \\
a & k & -a & k \\
2\mu\Omega & 2k\mu b & 2\mu\Omega & -2k\mu b \\
2k\mu a & 2\mu\Omega & -2k\mu a & 2\mu\Omega \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\phi_m^- \\
\psi_m^- \\
\phi_m^+ \\
\psi_m^+ \\
\end{bmatrix}\end{split}\]
刚性边界满足位移为 0 ，即
\[\begin{split}\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
\sigma_{Rm} \\
\tau_{Rm} \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
k & b & k & -b \\
a & k & -a & k \\
2\mu\Omega & 2k\mu b & 2\mu\Omega & -2k\mu b \\
2k\mu a & 2\mu\Omega & -2k\mu a & 2\mu\Omega \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\phi_m^- \\
\psi_m^- \\
\phi_m^+ \\
\psi_m^+ \\
\end{bmatrix}\end{split}\]
根据以上结果为 0 的表达式，可以构建出以下关系：
对于顶层界面的 z+ 侧
\[\begin{split}\begin{bmatrix}
\phi_m^+ \\
\psi_m^+ \\
\end{bmatrix} =
\mathbf{R}_U
\begin{bmatrix}
\phi_m^- \\
\psi_m^- \\
\end{bmatrix}\end{split}\]
对于底层界面的 z- 侧
\[\begin{split}\begin{bmatrix}
\phi_m^- \\
\psi_m^- \\
\end{bmatrix} =
\mathbf{R}_D
\begin{bmatrix}
\phi_m^+ \\
\psi_m^+ \\
\end{bmatrix}\end{split}\]
具体公式我使用 SymPy 做了推导，相应的 .ipynb 文件如下，以供读者参考。