:author: 朱邓达 :date: 2025-06-20 反射透射系数矩阵的另一种推导 ============================== 在 |yao2026| 中给出了反射透射系数矩阵（下称 R/T 矩阵）的推导，其中推导的基础是先计算出固体-固体界面两侧的垂直波函数转换矩阵 :math:`\mathbf{Q}(j^-,j^+) = \mathbf{D}_{j-1}^{-1} \mathbf{D}_{j}` ，但这种推导不太适用于后续对于液体-固体界面的 R/T 矩阵的推导，故这里给出另一种推导方式，本质还是矩阵的各种变换。 原推导过程涉及多种矢量符号，比较容易产生混淆，以下尽量将矩阵、矢量展开。 以下推导以动态 P-SV 情况为例。 最终每一项系数的详细表达式我使用 Python 库 `SymPy `_ 辅助推导，包括与原推导结果的对比验证，可在这里下载 :download:`RT_formula.ipynb` （ :doc:`预览 ` ）。 ---------------------------------------- 界面两侧的垂直波函数关系 ----------------------------- 从波动方程出发，使用柱面谐矢量(vector cylindrical harmonics)表示位移和应力，则某层内的位移垂直波函数与位移应力矢量之间的关系可以表示为（略去角标 :math:`j`） .. math:: :label: \begin{bmatrix} q_m \\ w_m \\ \sigma_{Rm} \\ \tau_{Rm} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k & b & k & -b \\ a & k & -a & k \\ 2\mu\Omega & 2k\mu b & 2\mu\Omega & -2k\mu b \\ 2k\mu a & 2\mu\Omega & -2k\mu a & 2\mu\Omega \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_m^- \\ \psi_m^- \\ \phi_m^+ \\ \psi_m^+ \\ \end{bmatrix} 其中左侧为位移应力矢量，右侧的 4x4 矩阵 我们称为 :math:`D` 矩阵。为简单起见，我们假设界面位于第1/2层之间，根据应力位移连续的边界条件，有 .. math:: :label: layer12 & \begin{bmatrix} k & b_1 & k & -b_1 \\ a_1 & k & -a_1 & k \\ 2\mu_1\Omega_1 & 2k\mu_1 b_1 & 2\mu_1\Omega_1 & -2k\mu_1 b_1 \\ 2k\mu_1 a_1 & 2\mu_1\Omega_1 & -2k\mu_1 a_1 & 2\mu_1\Omega_1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_m^- (z_1^-) \\ \psi_m^- (z_1^-) \\ \phi_m^+ (z_1^-) \\ \psi_m^+ (z_1^-) \\ \end{bmatrix} \\ = & \begin{bmatrix} k & b_2 & k & -b_2 \\ a_2 & k & -a_2 & k \\ 2\mu_2\Omega_2 & 2k\mu_2 b_2 & 2\mu_2\Omega_2 & -2k\mu_2 b_2 \\ 2k\mu_2 a_2 & 2\mu_2\Omega_2 & -2k\mu_2 a_2 & 2\mu_2\Omega_2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_m^- (z_1^+) \\ \psi_m^- (z_1^+) \\ \phi_m^+ (z_1^+) \\ \psi_m^+ (z_1^+) \\ \end{bmatrix} 界面上的 R/T 矩阵 -------------------------- 原推导中对 :eq:`layer12` 式做了矩阵求逆以获得两侧垂直波函数的转换矩阵。这里我们先保留该形式，仍然根据入射方向分两种情况讨论，最终同样可求出 R/T 矩阵。 波从上向下入射 ~~~~~~~~~~~~~~~~ 此时下层没有向上传播的入射波，即 :math:`[\phi_m^- (z_1^+), \psi_m^- (z_1^+)]^T = \mathbf{0}` ，:eq:`layer12` 式变为 .. math:: :label: \begin{bmatrix} k & b_1 & k & -b_1 \\ a_1 & k & -a_1 & k \\ 2\mu_1\Omega_1 & 2k\mu_1 b_1 & 2\mu_1\Omega_1 & -2k\mu_1 b_1 \\ 2k\mu_1 a_1 & 2\mu_1\Omega_1 & -2k\mu_1 a_1 & 2\mu_1\Omega_1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_m^- (z_1^-) \\ \psi_m^- (z_1^-) \\ \bbox[yellow] {\phi_m^+ (z_1^-)} \\ \bbox[yellow] {\psi_m^+ (z_1^-)} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k & -b_2 \\ -a_2 & k \\ 2\mu_2\Omega_2 & -2k\mu_2 b_2 \\ -2k\mu_2 a_2 & 2\mu_2\Omega_2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_m^+ (z_1^+) \\ \psi_m^+ (z_1^+) \\ \end{bmatrix} 其中高亮部分的垂直波函数为当前情况的“已知项”，通过移项+矩阵重排的方式可得到 .. math:: :label: U2D \begin{bmatrix} -k & -b_1 & k & -b_2 \\ -a_1 & -k & -a_2 & k \\ -2\mu_1\Omega_1 & -2k\mu_1 b_1 & 2\mu_2\Omega_2 & -2k\mu_2 b_2 \\ -2k\mu_1 a_1 & -2\mu_1\Omega_1 & -2k\mu_2 a_2 & 2\mu_2\Omega_2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_m^- (z_1^-) \\ \psi_m^- (z_1^-) \\ \phi_m^+ (z_1^+) \\ \psi_m^+ (z_1^+) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k & -b_1 \\ -a_1 & k \\ 2\mu_1\Omega_1 & -2k\mu_1 b_1 \\ -2k\mu_1 a_1 & 2\mu_1\Omega_1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bbox[yellow] {\phi_m^+ (z_1^-)} \\ \bbox[yellow] {\psi_m^+ (z_1^-)} \\ \end{bmatrix} 其中等号左边矩阵前两列的负号由移项产生，此时左边的垂直波函数矢量（作为未知量）已经变成两层的混合版本，适定方程可简单使用逆矩阵求解，得到 .. math:: :label: \begin{bmatrix} \phi_m^- (z_1^-) \\ \psi_m^- (z_1^-) \\ \end{bmatrix} = \mathbf{R}_D^{2\times2} \begin{bmatrix} \bbox[yellow] {\phi_m^+ (z_1^-)} \\ \bbox[yellow] {\psi_m^+ (z_1^-)} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_m^+ (z_1^+) \\ \psi_m^+ (z_1^+) \\ \end{bmatrix} = \mathbf{T}_D^{2\times2} \begin{bmatrix} \bbox[yellow] {\phi_m^+ (z_1^-)} \\ \bbox[yellow] {\psi_m^+ (z_1^-)} \\ \end{bmatrix} 波从下向上入射 ~~~~~~~~~~~~~~~~ 此时上层没有向下传播的入射波，即 :math:`[\phi_m^+ (z_1^-), \psi_m^+ (z_1^-)]^T = \mathbf{0}` ，:eq:`layer12` 式变为 .. math:: :label: \begin{bmatrix} k & b_1 \\ a_1 & k \\ 2\mu_1\Omega_1 & 2k\mu_1 b_1 \\ 2k\mu_1 a_1 & 2\mu_1\Omega_1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_m^- (z_1^-) \\ \psi_m^- (z_1^-) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k & b_2 & k & -b_2 \\ a_2 & k & -a_2 & k \\ 2\mu_2\Omega_2 & 2k\mu_2 b_2 & 2\mu_2\Omega_2 & -2k\mu_2 b_2 \\ 2k\mu_2 a_2 & 2\mu_2\Omega_2 & -2k\mu_2 a_2 & 2\mu_2\Omega_2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bbox[yellow] {\phi_m^- (z_1^+)} \\ \bbox[yellow] {\psi_m^- (z_1^+)} \\ \phi_m^+ (z_1^+) \\ \psi_m^+ (z_1^+) \\ \end{bmatrix} 其中高亮部分的垂直波函数同样为当前情况的“已知项”，为保持与 :eq:`U2D` 式的形式匹配，通过类似的移项+矩阵重排的方式可得到 .. math:: :label: D2U \begin{bmatrix} -k & -b_1 & k & -b_2 \\ -a_1 & -k & -a_2 & k \\ -2\mu_1\Omega_1 & -2k\mu_1 b_1 & 2\mu_2\Omega_2 & -2k\mu_2 b_2 \\ -2k\mu_1 a_1 & -2\mu_1\Omega_1 & -2k\mu_2 a_2 & 2\mu_2\Omega_2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_m^- (z_1^-) \\ \psi_m^- (z_1^-) \\ \phi_m^+ (z_1^+) \\ \psi_m^+ (z_1^+) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -k & -b_2 \\ -a_2 & -k \\ -2\mu_2\Omega_2 & -2k\mu_2 b_2 \\ -2k\mu_2 a_2 & -2\mu_2\Omega_2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bbox[yellow] {\phi_m^- (z_1^+)} \\ \bbox[yellow] {\psi_m^- (z_1^+)} \\ \end{bmatrix} 矩阵中的负号由移项产生，等号左边形式与 :eq:`U2D` 式完全一致。同样该适定方程可简单使用逆矩阵求解，得到 .. math:: :label: \begin{bmatrix} \phi_m^- (z_1^-) \\ \psi_m^- (z_1^-) \\ \end{bmatrix} = \mathbf{T}_U^{2\times2} \begin{bmatrix} \bbox[yellow] {\phi_m^- (z_1^+)} \\ \bbox[yellow] {\psi_m^- (z_1^+)} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_m^+ (z_1^+) \\ \psi_m^+ (z_1^+) \\ \end{bmatrix} = \mathbf{R}_U^{2\times2} \begin{bmatrix} \bbox[yellow] {\phi_m^- (z_1^+)} \\ \bbox[yellow] {\psi_m^- (z_1^+)} \\ \end{bmatrix} 合并求解 ~~~~~~~~~~ :eq:`U2D` 式和 :eq:`D2U` 式可合并，一并使用逆矩阵求得最终界面上的 R/T 矩阵， .. math:: :label: & \begin{bmatrix} \mathbf{T}_U^{2\times2} & \mathbf{R}_D^{2\times2} \\ \mathbf{R}_U^{2\times2} & \mathbf{T}_D^{2\times2} \\ \end{bmatrix} \\ = & \begin{bmatrix} -k & -b_1 & k & -b_2 \\ -a_1 & -k & -a_2 & k \\ -2\mu_1\Omega_1 & -2k\mu_1 b_1 & 2\mu_2\Omega_2 & -2k\mu_2 b_2 \\ -2k\mu_1 a_1 & -2\mu_1\Omega_1 & -2k\mu_2 a_2 & 2\mu_2\Omega_2 \\ \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} -k & -b_2 & k & -b_1 \\ -a_2 & -k & -a_1 & k \\ -2\mu_2\Omega_2 & -2k\mu_2 b_2 & 2\mu_1\Omega_1 & -2k\mu_1 b_1 \\ -2k\mu_2 a_2 & -2\mu_2\Omega_2 & -2k\mu_1 a_1 & 2\mu_1\Omega_1 \\ \end{bmatrix} 之后的运算如增加时间延迟因子，广义 R/T 矩阵递推等不受影响。