直接收敛法（Direct Convergence Method, DCM）
DCM 的想法非常简单 (Zhu et al., 2026b) ，使用以下一个式子即可说明。 DCM 将原积分拆分为：
\[\int_0^\infty F(k) J_m(kr) k dk = \int_0^\infty \left[F(k) - F(k_\text{max}) \right] J_m(kr) k dk + F(k_\text{max}) \int_0^\infty J_m(kr) k dk\]
\(k_\text{max}\) 即为数值方法的积分上限，而上式第二项积分有如下解析解 ，推导见 (Zhu et al., 2026b) 文章附录，
\[\begin{split}\int_0^\infty J_m(kr) k dk =
\left\{
\begin{aligned}
& 0, & \qquad m=0 \\
& \dfrac{1}{r^2}, & \qquad m=1 \\
& \dfrac{2}{r^2}, & \qquad m=2 \\
\end{aligned}
\right.\end{split}\]
剩下的第一项积分则按照既定的数值方法求解即可。 从以上可见 DCM 几乎不需要额外的复杂计算，且在代码实现上非常简单。
DCM 旨在解决核函数在源点场点深度接近时衰减慢的问题，这与 PTAM 直接作用于振荡的积分结果不同。 以下以半空间模型为例，绘制了场点位于地表时不同震源深度（0 ~ 0.4 km）的 5 Hz 的核函数， 可见浅源的核函数衰减很慢，这是造成积分持续震荡难以收敛的根本原因。
计算 Bash 脚本: run.sh |
绘图 Python 脚本: plot_depth_kernel.py
归一化到 [-1e8, 1e8] 范围内， 使用对称对数轴